Question

設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓M與雙曲線2x²-2y²=1有公共焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)A（2，0）的直線交橢圓M于P、Q兩點(diǎn)，且滿足OP⊥OQ，求直線PQ的方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出直線方程，利用橢圓的離心率公式及橢圓中三個(gè)參數(shù)的關(guān)系，列出方程組，求出a，b，c的值，即得到橢圓的方程．
（II）設(shè)出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系，利用向量垂直的充要條件列出等式，求出直線的斜率，即得到直線的方程．

解答：解：（Ⅰ） 設(shè)橢圓M的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
則有

a2-b2=1 1 a = 2 2

解得

a= 2 b=1

，
∴橢圓M的方程為

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）當(dāng)k不存在時(shí)，直線為x=2與橢圓無(wú)交點(diǎn)
當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)PQ：y=k（x-2）
代入

x2

2

+y2=1整理得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則有x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

∴y1y2=

2k2

1+2k2

∵OP⊥OQ，
∴y₁y₂+x₁x₂=0即

10k2-2

1+2k2

=0
解得：k=±

5

5

所求直線PQ的方程為y=±

5

5

(x-2)

點(diǎn)評(píng)：解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題，一般講直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理找突破口．