Question

3．如圖，△ABC為圓的內接三角形，BD為圓的弦，且BD∥AC． 過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F．若AB=AC，AE=3$\sqrt{5}$，BD=4則線段AF的長為$\frac{{5\sqrt{5}}}{3}$．

Answer 1

分析 由切割線定理得到AE²=EB•ED=EB（EB+BD），求出EB=5，由已知條件推導出四邊形AEBC是平行四邊形，從而得到AC=AB=BE=5，BC=AE=3$\sqrt{5}$，由△AFC∽△DFB，能求出CF的長．

解答 解：∵AB=AC，AE=3$\sqrt{5}$，BD=4，
梯形ABCD中，AC∥BD，BD=4，
由切割線定理可知：AE²=EB•ED=EB（EB+BD），
即45=BE（BE+4），解得EB=5，
∵AC∥BD，∴AC∥BE，
∵過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E，
∴∠BAE=∠C，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∴∠ABC=∠BAE，∴AE∥BC，
∴四邊形AEBC是平行四邊形，
∴EB=AC，∴AC=AB=BE=5，
∴BC=AE=3$\sqrt{5}$，
∵△AFC∽△DFB，∴$\frac{AC}{BD}$=$\frac{CF}{BF}$，即$\frac{5}{4}$=$\frac{CF}{3\sqrt{5}-CF}$，
解得CF=$\frac{{5\sqrt{5}}}{3}$．
故答案為：$\frac{{5\sqrt{5}}}{3}$．

點評 本題考查與圓有關的線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意切割線定理的合理運用．