Question

已知實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，其中a、b、c、d是實(shí)數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函數(shù)，在區(qū)間（-1，3）上是減函數(shù)，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）若a、b、c滿足b²＜3ac，求證：函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，f（0）=-7，f′（0）=-18，可以求出d和c的值，再根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函數(shù)，在區(qū)間（-1，3）上是減函數(shù)，可以確定-1和3為f′（x）=0的兩個(gè)根，代入f′（x）=0，列出方程組，求解即可得到a和b的值，從而求得函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）根據(jù)b²＜3ac，確定f'（x）為二次三項(xiàng)式，判斷出△＜0，再根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)a的正負(fù)，分別研究f'（x）的正負(fù)，即可證得函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d，
∴f'（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（0）=-7，
∴d=-7，
∵f'（0）=-18，
∴c=-18，
∴f'（x）=3ax²+2bx-18，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函數(shù)，在區(qū)間（-1，3）上是減函數(shù)，
∴-1和3必是f'（x）=0的兩個(gè)根，
∴

3a-2b-18=0 27a+6a-18=0

，解得

a=2 b=-6

，
∴f（x）=2x³-6x²-18x-7；
（2）由（1）可知，f'（x）=3ax²+2bx+c，
∵b²-3ac＜0，
∴a≠0，c≠0，
∴f'（x）為二次三項(xiàng)式，
∵△=（2b）²-4（3ac）=4（b²-3ac）＜0，
∴當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）＞0恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）是單調(diào)增函數(shù)，
當(dāng)a＜0時(shí)，f'（x）＜0恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）是單調(diào)減函數(shù)，
∴對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)a，函數(shù)f（x）總是單調(diào)函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．求函數(shù)解析式常見的方法有：待定系數(shù)法，換元法，湊配法，消元法等．對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．