Question

11．過點P（-2，-1）作圓C：（x-4）²+（y-2）²=9的兩條切線，切點分別為A，B，
（1）求直線AB的方程；
（2）求在經(jīng)過點A，B的所有圓中，面積最小的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，BC，PC，記PC交AB于D，根據(jù)AB⊥CD求出直線斜率，再根據(jù)C到直線AB的距離，可得直線AB的方程；
（2）經(jīng)過點A，B的所有圓中，面積最小的圓是以AB為直徑的圓，進而得到答案．

解答 解：（1）如圖，連結(jié)AC，BC，PC，記PC交AB于D，

因為，PA，PB是圓C的切線，
所以CA⊥PA，CB⊥PB，PC⊥AB  …（2分）
在Rt△PAC中，PC=$3\sqrt{5}$，AC=3，∴PA=6
由Rt△PAC∽Rt△ADC得，$CD=\frac{3}{{\sqrt{5}}}$…（4分）
由條件知，圓心C（4，2），∴${k_{PC}}=\frac{1}{2}$，k_AB=-2
可設(shè)直線AB的方程為y=-2x+m，即2x+y-m=0，
∴$\frac{|10-m|}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}=\frac{3}{{\sqrt{5}}}$，∴m=7或m=13（舍去）
所以，直線AB的方程為y=-2x+7…（7分）
（2）在經(jīng)過點A，B的所有圓中，以AB為直徑的圓，其面積最�。�…（9分）
直線PC的方程為x-2y=0，與y=-2x+7聯(lián)立，
解得點D的坐標為$（\frac{14}{5}，\frac{7}{5}）$…（11分）
由（1）知，$AD=2CD=\frac{6}{{\sqrt{5}}}$…（13分）
∴所求圓的方程為：${（x-\frac{14}{5}）^2}+{（y-\frac{7}{5}）^2}=\frac{36}{5}$…（15分）

點評 本題考查的知識點是圓的切線方程，圓的標準方程，點到直線的距離公式，難度中檔．