Question

【題目】已知公差不為0的等差數(shù)列的前三項(xiàng)和為6，且成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使的的最大值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）13．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的前三項(xiàng)和為6，且成等比數(shù)列列出關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程組，解方程組可得與的值，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求和后，解不等式即可得結(jié)果.

試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，依題意有，

即，

由，解得，所以．

（2）由（1）可得，

所以．

解，得，

所以的最大值為13．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合運(yùn)用以及裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題.裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，掌握一些常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：①；②

；③；

④ ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.