Question

2．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+1
（1）若函數(shù)在[-1，3]上的最大值為2，求a；
（2）若x∈（0，2）時，f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的對稱軸，（1）通過討論對稱軸的位置，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到關于a的方程，解出即可；（2）通過討論對稱軸的范圍得到不等式，解出即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+ax+1，對稱軸x=-$\frac{a}{2}$，
（1）①-$\frac{a}{2}$≤-1即a≥2時：
f（x）在[-1，3]遞增，f（x）_max=f（3）=3a+10=2，
解得：a=-$\frac{8}{3}$，舍，
②-$\frac{a}{2}$≥3即a≤-6時：
f（x）在[-1，3]遞減，f（x）_max=f（-1）=2-a=2，
解得：a=0，舍，
③-1＜-$\frac{a}{2}$≤1，即-2≤a＜2時：
f（x）在[-1，-$\frac{a}{2}$）遞減，在（-$\frac{a}{2}$，3]遞增，
f（x）_max=f（3）=3a+10=2，a=-$\frac{8}{3}$舍，
④1＜-$\frac{a}{2}$≤3，即-6≤a＜-2時：
f（x）在[-1，-$\frac{a}{2}$）遞減，在（-$\frac{a}{2}$，3]遞增，
f（x）_max=f（-1）=2-a=2，a=0，舍，
故不存在實數(shù)a，使得函數(shù)在[-1，3]上的最大值為2；
（2）-$\frac{a}{2}$＜0即a＞0時：
f（x）在（0，2）遞增，f（0）=1＞0，f（x）＞0在（0，2）恒成立，
-$\frac{a}{2}$＞2即a＜-4時：
f（x）在（0，2）遞減，只需f（2）=2a+5＞0即可，解得：a＞-$\frac{5}{2}$，不合題意，
綜上：a＞0．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題、函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．