Question

（2012•黃浦區(qū)一模）已知a＜b，且a²-a-6=0，b²-b-6=0，數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a₁=1，a₂=-6_a，a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+1-ba_n（n∈N^*）．
（1）求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）已知數(shù)列{c_n}滿足c_n=

an

3n

（n∈N^*），試建立數(shù)列{c_n}的遞推公式（要求不含a_n或b_n）；
（3）若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由a＜b，且a²-a-6=0，b²-b-6=0，解得a=-2，b=3，a₂=-12．由a₁=1，a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+1-ba_n（n∈N^*），得到b_n+1=a_n+2-3a_n+1=3b_n（n∈N^*）．由此能夠證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（2）由bn=3n+1(n∈N*)，得

an+1

3n+1

-

an

3n

=1，(n∈N*)．由此能夠推導(dǎo)出數(shù)列{c_n}的遞推公式．
（3）由c_n=

3n-2

3

，（n∈N^*），得an=3n•cn=（3n-2）•3^n-1，（n∈N^*）．由此利用錯位相減法能夠求出數(shù)列{a_n}的前n項和．

解答：（1）證明：∵a＜b，且a²-a-6=0，b²-b-6=0，
∴a=-2，b=3，a₂=-12．
∵a₁=1，a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+1-ba_n（n∈N^*），
∴b_n+1=a_n+2-3a_n+1
=6a_n+1-9a_n-3a_n+1
=3（a_n+1-3a_n）
=3b_n（n∈N^*）．
又b₁=a₂-3a₁=9，
∴數(shù)列{b_n}是公比為3，首項為b₁的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）得bn=3n+1(n∈N*)．
于是，有an+1-3an=3n+1（n∈N^*），
即

an+1

3n+1

-

an

3n

=1，(n∈N*)．
又cn=

an

3n

，（n∈N^*），則c_n+1-c_n=1，n∈N^*．
因此，數(shù)列{c_n}的遞推公式是

c1= 1 3 cn+1-cn=1

，n∈N*．
（3）解：由（2）可知，數(shù)列{c_n}是公差為1，首項為

1

3

的等差數(shù)列，
于是c_n=

3n-2

3

，（n∈N^*）．
故an=3n•cn=（3n-2）•3^n-1，（n∈N^*）．
因此，S_n=a₁+a₂+…+a_n
=1+4•3+7•3²+…+（3n-2）•3^n-1，
3S_n=1•3+4•3²+7•3³+…+（3n-2）•3ⁿ，
將上述兩個等式相減，
得-2Sn=1+32+33+…+3n-(3n-2)•3n=1+

9(1-3n-1)

1-3

-（3n-2）•3ⁿ，
∴2S_n=n•3ⁿ⁺¹-

7

2

•3n+

7

2

．
所以Sn=

1

2

n•3n+1-

7

4

•3n+

7

4

，（n∈N^*）．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，數(shù)列的遞推公式的推導(dǎo)，數(shù)列前n項和的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．