Question

若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點在函數(shù)的圖象上，其中為正整數(shù)．

（1）證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）設（1）中“平方遞推數(shù)列”的前項之積為，即，求數(shù)列的通項及關于的表達式；

（3）記，求數(shù)列的前項和，并求使的的最小值．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3），.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)平方遞推數(shù)列的定義可知：進而證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”；利用等比數(shù)列的定義推得數(shù)列是等比數(shù)列（2）根據(jù)（2）求得進而求得；（3）根據(jù)（2）可知：，利用分組求和求得，由得到關于的不等式，進而求得正整數(shù)的最小值.

試題解析：（1）∵，

∴數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”．

由以上結論，

∴數(shù)列為首項是，公比為的等比數(shù)列 4分

（2），

∴， ∴．

∵ ，∴. 8分

（3）∵，

∴.

∵ 4， ∴.

∴. ∴. 12分

考點：1.構造法；2.等比數(shù)列的定義；3.數(shù)列求和.