Question

已知函數(shù)f（x）=x²-x+a+1
（1）若f（x）≥0對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）求f（x）在區(qū)間（-∞，a]上的最小值g（a）的表達式．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=x²-x+a+1，且f（x）≥0對一切實數(shù)x恒成立，
∴△=（-1）²-4（a+1）≤0，即-4a-3≤0，解之得a≥-
因此，實數(shù)a的取值范圍是[-，+∞）．
（2）配方，得f（x）=x²-x+a+1=（x-）²+a+
①當a時，函數(shù)在（-∞，a]上為減函數(shù)，所以最小值為f（a）=a²+1=g（a）；
②當a時，函數(shù)在（-∞，]上為減函數(shù)，在（，a]上是增函數(shù)
此時，f（x）的最小值為f（）=a+
因此f（x）在區(qū)間（-∞，a]上的最小值g（a）的表達式為：
g（a）=.．
分析：（1）根據(jù)題意，函數(shù)圖象對應的拋物線開口向上且與x軸不相交，由此結合根的判別式建立關于a的不等式，解之即可得到實數(shù)a的取值范圍；
（2）因為函數(shù)的圖象對應的拋物線開口向上，關于直線x=對稱，所以分a和a時兩種情況加以討論，結合二次函數(shù)的單調性進行求解，即可得到f（x）在區(qū)間（-∞，a]上的最小值g（a）的表達式．
點評：本題給出含有字母參數(shù)a的二次函數(shù)，討論函數(shù)恒成立并求函數(shù)在區(qū)間（-∞，a]上的最小值．著重考查了二次的圖象與性質、分類討論的思想和分段函數(shù)等知識，屬于基礎題．