Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓

x2

3

+

y2

2

=1的左、右焦點(diǎn)，直線l₁過點(diǎn)F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直于直線l₁，垂足為D，線段DF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M．
（Ⅰ）求動點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F₁作直線交曲線C于兩個不同的點(diǎn)P和Q，設(shè)

F1P

=λ

F1Q

，若λ∈[2，3]，求

F2P

•

F2Q

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用中垂線的性質(zhì)列方程，或者利用拋物線的定義寫方程．
（2）利用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式及向量坐標(biāo)運(yùn)算公式，并利用函數(shù)的單調(diào)性，求得

F2P•

F2Q

的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），則D（-1，y），由中垂線的性質(zhì)知|MD|=|MF₂|
∴|x+1|=

(x-1)2+y2

化簡得C的方程為y²=4x（3分）
（另：由|MD|=|MF₂|知曲線C是以x軸為對稱軸，以F₂為焦點(diǎn)，以l₁為準(zhǔn)線的拋物線
所以，

p

2

=1，則動點(diǎn)M的軌跡C的方程為y²=4x）
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

F1P=

λ•F1Q

知

x1+1=λ(x2+1)  y1=λ y2

①．
又由P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在曲線C上知

y12=4x1 y22=4x2

 ②，
由①②解得

x1=λ x2= 1 λ

，所以有x₁x₂=1，y₁y₂=4．（8分）

F2P•

F2Q

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-x₁-x₂+1+y₁y₂=6-(λ+

1

λ

)（10分）
設(shè)u=λ+

1

λ

，有u′=(λ+

1

λ

)′=1-

1

λ2

＞0  ?  u=λ+

1

λ

在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，
得

5

2

≤λ+

1

λ

≤

10

3

，進(jìn)而有

8

3

≤6-(λ+

1

λ

)≤

7

2

，
所以，

F2P•

F2Q

的取值范圍是[

8

3

，

7

2

]．（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查軌跡方程的求法，兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，注意換元的思想，換元過程中特別注意變量范圍的改變，屬于難題．