Question

已知△ABC的外接圓圓心為O，半徑為1，

AO

=x

AB

+y

AC

（xy≠0），且x+2y=1，則△ABC的面積的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：取AC的中點(diǎn)D，根據(jù)已知條件推斷O，B，D共線，進(jìn)而根據(jù)AC為x軸，BD為y軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)出A，C的坐標(biāo)，求出B的坐標(biāo)，進(jìn)而表示三角形面積，利用換元法令m=cosα，最后通過(guò)對(duì)三角形面積表達(dá)式求導(dǎo)，確定面積最大值α的值，進(jìn)而求得此時(shí)三角形的面積．

解答： 解：取AC的中點(diǎn)D，
∵

AO

=x

AB

+y

AC

=x

AB

+2y

AD

，x+2y=1，
∴O，B，D三點(diǎn)共線，
以AC為x軸，BD為y軸，建立坐標(biāo)系，
設(shè)A（-m，0），則C（m，0），B（0，1+

1-m2

），
S_△ABC=

1

2

•2m•（1+

1-m2

）（0＜m＜1），
令m=cosα，α∈（0，

π

2

），
則S_△ABC=cosα+cosαsinα，
∴當(dāng)S'_△ABC=0時(shí)，α=

π

6

，
∴當(dāng)α=

π

6

時(shí)，三角形面積取最大值，最大值為

3

2

+

3

2

×

1

2

=

3 3

4

．
故答案為：

3 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面向量及應(yīng)用，解三角形問題．用換元法，利用三角函數(shù)有界性是求最值的常用方法．