Question

已知a＞0，且a≠1，f(logax)=(

a

a2-1

)(x-

1

x

)．
（1）求f（x）的表達(dá)式，并判斷其單調(diào)性；
（2 ）當(dāng)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）時(shí)，解關(guān)于m的不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0；
（3）若y=f（x）-4在（-∞，2）上恒為負(fù)值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合換元法令t=log_ax，從而推出x=a^t，導(dǎo)出f（t）后，直接把f（t）中的變量t都換成x就得到f（x），利用單調(diào)函數(shù)的定義和性質(zhì)可判斷單調(diào)性．
（2）結(jié)合f（x）的奇偶性與單調(diào)性進(jìn)行求解：由y=f（x）（x∈R）的奇偶性、單調(diào)性，由f（1-m）+f（1-m²）＜0可得f（1-m）＜-f（1-m²），即f（1-m）＜f（m²-1），再y=f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)求解m的取值范圍．
（3）由當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f（x）-4的值恒為負(fù)數(shù)，即f（x）-4＜0恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得f（2）-4≤0，整理即可解得a的取值范圍．

解答：解：（1）：（1）令t=log_ax（t∈R），
則x=a^t，f（t）=

a

a2-1

（at-a-t）．
∴f（x）=

a

a2-1

（ax-a-x）（x∈R）．
①當(dāng)a＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=a^x是增函數(shù)，y=（

1

a

）x=a-x是減函數(shù)，y=-a^-x是增函數(shù)．
∴y=a^x-a^-x為增函數(shù)，
又因?yàn)?span id="xjdg5qc" class="MathJye">

a

a2-1

＞0，
∴f（x）=

a

a2-1

（ax-a-x）（x∈R）是增函數(shù)．
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=a^x是減函數(shù)，
y=（

1

a

）x=a-x是增函數(shù)，y=-a^-x是減函數(shù)．
∴u（x）=a^x-a^-x為減函數(shù)．
又因?yàn)?span id="99pa83p" class="MathJye">

a

a2-1

＜0，
∴f（x）=

a

a2-1

（ax-a-x）（x∈R）是增函數(shù)．
綜上可知，在a＞1或0＜a＜1時(shí)，y=f（x），（x∈R）都是增函數(shù)．
（2）易判斷函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，f（1-m）+f（1-m²）＜0?f（1-m）＜f（m²-1），
又f（x）為增函數(shù)，所以有

1-m＜1-m2 -1＜m-1＜1 -1＜m2-1＜1

，解得1＜m＜

2

，
故不等式的解集{m|1＜m＜

2

}；
（3）當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）-4的值恒為負(fù)數(shù)，即f（x）-4＜0恒成立，
因?yàn)閒（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)，則f（2）-4=

a

a2-1

（a2-a-2）-4≤0，
整理得a²-4a+1≤0，所以2-

3

≤a≤2+

3

，
又a＞0且a≠1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2-

3

，1）∪（1，2+

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，特別是后面抽象不等式及恒成立問(wèn)題，難度較大．