Question

已知sin（π-α）cos（-α-8π）=

60

169

，且α∈(

π

4

，

π

2

)，試求sinα與cosα的值．

Answer 1

分析：首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行整理，得到兩個(gè)角的正弦與余弦之積，根據(jù)兩個(gè)角的平方和得到兩個(gè)數(shù)的差與和的平方的值，根據(jù)角的范圍，分析和與差的正負(fù)，開方得到正弦與余弦的和與差，解出正弦與余弦值．

解答：解：由已知條件sin（π-α）cos（-α-8π）=

60

169

，
根據(jù)誘導(dǎo)公式得sinαcosα=

60

169

，
即2sinαcosα=

120

169

①
又∵sin²α+cos²α=1，②
∴①+②得，(sinα+cosα)2=

289

169

，
②-①得，(sinα-cosα)2=

49

169

，
又∵α∈(

π

4

，

π

2

)，
∴sinα＞cosα＞0，即sinα+cosα＞0，sinα-cosα＞0，
因此，sinα+cosα=

17

13

，③
sinα-cosα=

7

13

④
由③+④得：sinα=

12

13

；
③-④得：cosα=

5

13

．
即sinα與cosα的值分別是

12

13

，

5

13

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα之間的關(guān)系，本題是一個(gè)易錯(cuò)題，易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)于已知平方數(shù)的結(jié)果，開平方時(shí)結(jié)果的正負(fù)要根據(jù)角的范圍弄清楚，本題是一個(gè)中檔題目．