Question

【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3．

（1）求a1的值；

（2）求{an}的通項(xiàng)公式：

（3）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】（1）3（2）an=2n+1．（3）

【解答】解：（1）令n=1可得：a12+2a1=4a1+3，解得a1=3或a1=﹣1（舍）．

（2）∵an2+2an=4Sn+3，∴an﹣12+2an﹣1=4Sn﹣1+3（n≥2），

兩式相減得：an2﹣an﹣12+2（an﹣an﹣1）=4an，即（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）=2（an+an﹣1），

∴an﹣an﹣1=2，

∴{an}是以3為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，

∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．

（3）bn==（），

∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和（++…+）=（）=．

【解析】

試題分析:（1）令n=1可解得a1的值；（2）利用和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得遞推關(guān)系式an﹣an﹣1=2，再根據(jù)等差數(shù)列定義及通項(xiàng)公式可得結(jié)論（3）因?yàn)?/span> ，所以利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

試題解析:解：（1）令n=1可得：a12+2a1=4a1+3，解得a1=3或a1=﹣1（舍）．

（2）∵an2+2an=4Sn+3，∴an﹣12+2an﹣1=4Sn﹣1+3（n≥2），

兩式相減得：an2﹣an﹣12+2（an﹣an﹣1）=4an，即（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）=2（an+an﹣1），

∴an﹣an﹣1=2，

∴{an}是以3為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，

∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．

（3）bn==（），

∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和（++…+）=（）=．