Question

已知函數f（x）=x^m-

2

x

且f（4）=

7

2

．
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并給予證明；
（3）求函數f（x）在區(qū)間[2，5]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）滿足f（4）=

7

2

，可得m的值；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函數，證明【方法一】用單調性定義證明，即取值，作差，判正負，下結論；
【方法二】求f（x）的導數f′（x），判定f′（x）＞0，得f（x）是增函數．
（3）由f（x）在（0，+∞）上是增函數，得f（x）在區(qū)間[2，5]上的最值．

解答：解：（1）∵函數f（x）=x^m-

2

x

，且f（4）=

7

2

；∴4^m-

2

4

=

7

2

，∴m=1，即m的值是1；
（2）f（x）在（0，+∞）上的是增函數，證明如下：
【方法一】任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（x₁-

2

x1

）-（x₂-

2

x2

）=（x₁-x₂）（1+

1

x1x2

）；
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，1+

1

x1x2

＞0；∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（0，+∞）上是增函數；
【方法二】∵f（x）=x-

2

x

，∴f′（x）=1+

2

x2

＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
（3）∵f（x）在（0，+∞）上是增函數，∴f（x）在區(qū)間[2，5]上也是增函數；
∴當x=2時，f（x）_min=f（2）=1，當 x=5時，f(x)max=f(5)=

23

5

．

點評：本題考查了函數解析式的求法以及函數的單調性判定與最值的計算，是基礎題．