若f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且f（
x
y
）=f（x）-f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）解不等式：f（x-1）＜0；
（3）若f（2）=1，解不等式f（x+3）-f（
1
x
）＜2．
分析：（1）利用賦值法，即可得到結(jié)論；
（2）f（x-1）＜0等價于f（x-1）＜f（1），利用f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，可得結(jié)論；
（3）由題意，f（4）=f（2）+f（2）=2，故原不等式f[x（x+3）]＜f（4），由此可得結(jié)論．
解答：解：（1）在等式中令x=y≠0，則f（1）=0；
（2）∵f（1）=0，
∴f（x-1）＜0等價于f（x-1）＜f（1）
又f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴
x-1＜1
x-1＞0
，解得x∈（1，2）
（3）由題意，f（4）=f（2）+f（2）=2，故原不等式為：f(x+3)-f(
1
x
)＜f(4)
即f[x（x+3）]＜f（4）
又f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
故原不等式等價于：
x+3＞0
1
x
＞0
x(x+3)＜4
，解得0＜x＜1，即x∈（0，1）．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查解不等式，考查學生的計算能力，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設y=f（x）是定義在區(qū)間（a，b）（b＞a）上的函數(shù)，若對?x1、x2∈（a，b），都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，則稱y=f（x）是區(qū)間（a，b）上的平緩函數(shù)．
（1）試證明對?k∈R3，f（x）=x2+kx+14都不是區(qū)間（-1，1）5上的平緩函數(shù)；
（2）若f（x）是定義在實數(shù)集R上的、周期為T=2的平緩函數(shù)，試證明對?x1、x2∈R，|f（x1）-f（x2）|≤1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

14、下列命題中：
①若函數(shù)f（x）的定義域為R，則g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函數(shù)；
②若f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，對于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，則函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
③已知x1，x2是函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的兩個值，且x1＜x2，若f（x1）＞f（x2），則f（x）是減函數(shù)；
④若f （x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f （x+2）也為奇函數(shù)，則f （x）是以4為周期的周期函數(shù)．
其中正確的命題序號是
①④
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且對一切x，y＞0，滿足f（
x
y
）=f（x）-f（y）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（
1
3
）＜2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知下列命題四個命題：
①若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0）上是增函數(shù)，θ∈(
π
4
，
π
2
)，則f（sinθ）＞f（cosθ）；
②在△ABC中，A＞B是cosA＜cosB的充要條件；
③設函數(shù)f（x）=x2+2（-2≤x＜0），其反函數(shù)為f-1（x），則f-1（3）=-1或1．
④在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知b2+c2=a2+bc，則A=
π
3
．
其中真命題的個數(shù)有（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若f（x）是定義在[0，+∞）上的增函數(shù)，則不等式f(2x-1)＜f(
13
)的解集為
 
．

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