Question

【題目】數(shù)列滿足：，，（表示不大于x的最大整數(shù)，）.試求的值.

Answer 1

【答案】998

【解析】

觀察數(shù)列初始的一些項(xiàng)（見表1）.

表1

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	1	1	1	2	2	2	3	3	4	4
	1	2	3	4	6	8	10	13	16	20	24
	11	12	13	14	15	16	17	18	19		20
	4	5	5	6	6	7	7	8	8		8
	28	33	38	44	50	57	64	72	80		88

注意到，數(shù)列嚴(yán)格單增，每個(gè)正整數(shù)1，2，…順次在數(shù)列中出現(xiàn)，并且除了首項(xiàng)之外，每個(gè)形如的數(shù)連續(xù)出現(xiàn)三次，其他數(shù)各連續(xù)出現(xiàn)兩次.

一般地，可證明數(shù)列的以下性質(zhì)：

（1）對任意的，若記，則.

（2）對任意的，若記，則當(dāng)時(shí)，有

.

對k歸納.

據(jù)上面所列出的項(xiàng)知，當(dāng)時(shí)結(jié)論成立.設(shè)

對于性質(zhì)（1）、（2）成立，即在時(shí)，，則

.

再對滿足的r歸納.

當(dāng)r=1時(shí)，由于，則

.

因?yàn)?/span>

，

則.

設(shè)當(dāng)時(shí)，均有.

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>

，①

則，

，

即.

所以，.

由于

，

所以，.

故由歸納法，當(dāng)，時(shí)，

.

特別地，當(dāng)時(shí)，上式成為

②

又由式①得

.

當(dāng)，，有

.

所以，.③

由式②、③可知，對于，當(dāng)k=n+1時(shí)，亦有..

從而，性質(zhì)（1）、（2）成立.

因?yàn)?/span>，取，則，.

因此，.