Question

如圖，直線D經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB，直線OB交⊙O于點(diǎn)E、D，連接EC，CD．若tanE=

1

2

，⊙O上的半徑為3，則OA的長為

5

．

Answer 1

分析：先證證AB是⊙O的切線，只要連接OC，求證∠ACO=90°即可；再由三角形判定定理可知，△BCD∽△BEC，得BD與BC的比例關(guān)系，最后由切割線定理列出方程求出OA的長．

解答：解：如圖，連接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切線；
又∵BE是圓O割線，
∴BC²=BD•BE，
∵tan∠CED=

1

2

，
∴

CD

EC

=

1

2

，
∵△BCD∽△BEC，
∴

BD

BC

=

CD

EC

=

1

2

，
設(shè)BD=x，BC=2x．又BC²=BD•BE，
∴（2x）²=x•（x+6），
解得x₁=0，x₂=2，
∵BD=x＞0，
∴BD=2，
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5
故答案為：5

點(diǎn)評：本題考查的是切線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)，以及切割線定理的綜合運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．