Question

對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），若同時滿足下列條件：
①f（x）在D內(nèi)具有單調(diào)性；
②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]；那么稱y=f（x）（x∈D）為閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)y=-x³符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數(shù)f（x）=

3

5

x+

2

x

（x＞0）是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（3）若函數(shù)y=k+

x+1

是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域,函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用閉函數(shù)的定義，判斷y=-x³符合條件②時滿足的關(guān)系式，即可求解區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數(shù)f（x）=

3

5

x+

2

x

（x＞0）是否為單調(diào)函數(shù)即可判斷是否為閉函數(shù)；
（3）利用函數(shù)y=k+

x+1

是閉函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組，即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（0）＞f（1）且f（x）為閉函數(shù)
∴f（x）=-x³在R上單調(diào)減，…（1分）
∴

f(a)=b f(b)=a a＜b

即

-a3=b -b3=a a＜b

a=-1 b=1

…（4分）
∴符合條件的閉區(qū)間為[-1，1]…（5分）
（2）解：函數(shù)f（x）=

3

5

x+

2

x

，所以函數(shù)f′（x）=

3

5

-

2

x2

，顯然導(dǎo)函數(shù)有兩個零點，一個大于0，所以函數(shù)在（0，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)，不滿足閉函數(shù)的定義．  …（10分）
（3）解：∵f（x）是閉函數(shù)且在[a，b]上單調(diào)增
∴

k+ a+1 =a k+ b+1 =b

∴a，b是方程k+

x+1

=x的兩個不等實根…（12分）
令t=

x+1

∴t²-t-k-1=0在[0，+∞）上有兩個不相等實根
∴

△=1+4k+1＞0 1 2 ＞0 -k-1≥0

…（15分）
∴-

5

4

＜k≤-1…（16分）

點評：本題考查新定義的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．