已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，橢圓C上的點到左焦點F距離的最小值與最大值之積為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l過橢圓C內一點M（m，0），與橢圓C交于P、Q兩點．對給定的m值，若存在直線l及直線母x=-2上的點N，使得△PNQ的垂心恰為點F，求m的取值范圍．
（1）由條件得
c
a
=
2
2
(a+c)(a-c)=1
，解得a=
2
，b=c=1
∴橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1．
（2）由條件知，F(xiàn)（-1，0），-
2
＜m＜
2
．
設P（x1，y1），Q（x2，y2），N（-2，y1），則由
λy=x-m
x2
2
+y2=1
得（λ2+2）y2+2λmy+m2-2=0，
由-
2
＜m＜
2
知△＞0恒成立，且y1+y2=-
2λm
λ2+2
，y1y2=
m2-2
λ2+2
．
由PQ⊥NF得y1=λ，（1）
由NQ⊥PF得
y2-y1
x2+2
×
y1
x1+1
=-1，（2）
由（1）（2）式化簡得，（λ2+1）y1y2+λ（m+1）（y1+y2）+（m+1）（m+2）=0
化簡得，mλ2=-（3m2+6m+2）（顯然m≠0），
由λ2≥0，-
2
＜m＜
2
得，解得
3
-3
3
≤m＜0．
∴m的取值范圍[
3
-3
3
，0）．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率e=
5
5
，過F1的直線交橢圓于M、N兩點，且△MNF2的周長為4
5

（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設AB是過橢圓E中心的任意弦，P是線段AB的垂直平分線與橢圓E的一個交點，求△APB面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2-y2=1．
（1）過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；
（2）設斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點，若l與圓x2+y2=1相切，求證：OP⊥OQ；
（3）設橢圓C2：4x2+y2=1，若M、N分別是C1、C2上的動點，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=x，直線l：y=k（x-1）+1，要使拋物線C上存在關于對稱的兩點，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

直線l過x軸上的點M，l交橢圓
x2
8
+
y2
4
=1于A，B兩點，O是坐標原點．
（1）若M的坐標為（2，0），當OA⊥OB時，求直線l的方程；
（2）若M的坐標為（1，0），設直線l的斜率為k（k≠0），是否存直線l，使得l垂直平分橢圓的一條弦？如果存在，求k的取值范圍；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），且經過點P(1，
3
2
)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設過F1的直線l與橢圓C交于A、B兩點，問在橢圓C上是否存在一點M，使四邊形AMBF2為平行四邊形，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

若直線y=kx+2與曲線y=
x2-1
，|x|＞1
1-x2
，|x|≤1
恰有兩個不同的交點，則k∈______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知圓的方程為x2+y2=4，過點M（2，4）作圓的兩條切線，切點分別為A1、A2，直線A1A2恰好經過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點和上頂點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線x=-1與橢圓相交于A、B兩點，P是橢圓上異于A、B的任意一點，直線AP、BP分別交定直線l：x=-4于兩點Q、R，求證
OQ
•
OR
為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知直線l與橢圓
x2
36
+
y2
9
=1交于A和B兩點，點（4，2）是線段AB的中點，則直線l的方程是______．

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同步練習冊答案