Question

1．已知定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．且f（2）=0．
（1）求f（-2）的值；
（2）若f（1og₂x）＜f（2），求x的取值范圍；
（3）若g（x）=$\sqrt{2}$asin（2x-$\frac{π}{3}$）+1-a，x∈[$\frac{7π}{24}$，$\frac{π}{2}$]，a∈R，是否存在實(shí)數(shù)a使得f[g（x）]＞0恒成立？若存在，求a的范圍，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求f（-2）的值；
（2）若f（1og₂x）＜f（2），結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求x的取值范圍；
（3）先求出f（x）＞0的解，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-2）=f（2）=0；
（2）若f（1og₂x）＜f（2），
則不等式等價(jià)為f（|1og₂x|）＜f（2），
∵f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
∴1og₂x＞2或1og₂x＜-2，
即x＞4或0＜x＜$\frac{1}{4}$，
即x的取值范圍是x＞4或0＜x＜$\frac{1}{4}$；
（3）若偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．且f（2）=0，
則對(duì)應(yīng)的函數(shù)f（x）的圖象如圖：
則由f（x）＞0的解為-2＜x＜2，
若f[g（x）]＞0成立，則等價(jià)為-2＜g（x）＜2，
∵x∈[$\frac{7π}{24}$，$\frac{π}{2}$]，
∴2x∈[$\frac{7π}{12}$，π]，
2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]，
則sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[1，$\sqrt{2}$]，
①若a=0，則g（x）=1，此時(shí)滿足-2＜g（x）＜2恒成立，
②若a＞0，則g（x）∈[1，（$\sqrt{2}$-1）a+1]，
若-2＜g（x）＜2恒成立，則（$\sqrt{2}$-1）a+1＜2，即（$\sqrt{2}$-1）a＜1，得0＜a＜$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$，即0＜a＜$\sqrt{2}$+1，
③若a＜0，則g（x）∈[（$\sqrt{2}$-1）a+1，1]，
若-2＜g（x）＜2恒成立，則（$\sqrt{2}$-1）a+1＞-2，即（$\sqrt{2}$-1）a＞-3，得$-\frac{3}{\sqrt{2}-1}$＜a＜0，即-3（$\sqrt{2}$+1）＜a＜0，
綜上-3（$\sqrt{2}$+1）＜a＜$\sqrt{2}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，根據(jù)三角函數(shù)的有界性是解決本題的關(guān)鍵．