Question

數(shù)列1，2，3，5，8，13，21，…最初是由意大利數(shù)學家列昂那多•斐波那契于1202年兔子繁殖問題中提出來的，稱之為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，后來發(fā)現(xiàn)很多自然現(xiàn)象都符合這個數(shù)列的規(guī)律，某校數(shù)學興趣小組對該數(shù)列研究后，類比該數(shù)列各項產(chǎn)生的辦法，得到數(shù)列{a_n}：1，2，1，6，9，10，17，…，設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n
（Ⅰ）請計算：a₁+a₂+a₃，a₂+a₃+a₄，a₃+a₄+a₅，并依此規(guī)律求數(shù)列{a_n}的第8項a₈=

 

（Ⅱ）S_3n+1=

 

（請用關于n的多項式表示．1²+2²+3³+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,類比推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：①由題意得a₁=1，a₂=2，a₃=1，a₄=6，a₅=9，a₆=10，a₇=17，…，計算：a₁+a₂+a₃=4，a₂+a₃+a₄=9，a₃+a₄+a₅=16，…，可歸納得數(shù)列{a_n}滿足的遞推關系式為a_n+a_n+1+a_n+2=（n+1）²，進而得到a_n+3-a_n=2n+3．即可得出a₈=a₅+（2×5+3）．
②由a_n+a_n+1+a_n+2=（n+1）²，可得a₁+a₂+a₃=（1+1）²，a₄+a₅+a₆=（4+1）²，a₇+a₈+a₉=（7+1）²，…，a_3n-2+a_3n-1+a_3n=（3n-1）²=9n²-6n+1，
得到S_3n=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+（a₇+a₈+a₉）+…+（a_3n-2+a_3n-1+a_3n）=9（1²+2²+…+n²）-6（1+2+…+n）+n．由a_n+3-a_n=2n+3得：a₄-a₁=2×1+3，a₇-a₄=2×4+3，…，a_3n+1-a_3n-2=2（3n-2）+3．利用“累加求和”可得a_3n+1-a₁=3n²+2n，即可得出S_3n+1=S_3n+a_3n+1．

解答： 解：①由題意得a₁=1，a₂=2，a₃=1，a₄=6，a₅=9，a₆=10，a₇=17，…，
計算：a₁+a₂+a₃=4，a₂+a₃+a₄=9，a₃+a₄+a₅=16，…，
可歸納得數(shù)列{a_n}滿足的遞推關系式為a_n+a_n+1+a_n+2=（n+1）²，
可得a_n+1+a_n+2+a_n+3=（n+2）²，
兩式相減得a_n+3-a_n=2n+3．
∴a₈=a₅+（2×5+3）=9+13=22．
②由a_n+a_n+1+a_n+2=（n+1）²，
可得a₁+a₂+a₃=（1+1）²，a₄+a₅+a₆=（4+1）²，a₇+a₈+a₉=（7+1）²，…，a_3n-2+a_3n-1+a_3n=（3n-1）²=9n²-6n+1，
∴S_3n=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+（a₇+a₈+a₉）+…+（a_3n-2+a_3n-1+a_3n）
=9（1²+2²+…+n²）-6（1+2+…+n）+n
=9×

n(n+1)(2n+1)

6

-6×

n(n+1)

2

+n
=3n3+

3

2

n2-

1

2

n．
由a_n+3-a_n=2n+3得：
a₄-a₁=2×1+3，a₇-a₄=2×4+3，…，a_3n+1-a_3n-2=2（3n-2）+3．
∴a_3n+1-a₁=2×（1+4+…+3n-2）+3n=2×

n(3n-2+1)

2

+3n=3n²+2n，
∴a_3n+1=3n²+2n+1．
∴S_3n+1=S_3n+a_3n+1=3n3+

3

2

n2-

1

2

n+3n²+2n+1=3n3+

9

2

n2+

3

2

n+1．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“累加求和”，考查了猜想歸納球數(shù)列的通項公式的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．