Question

如圖，矩形ABCD中，|AB|＝2，|BC|＝2．E，F，G，H分別是矩形四條邊的中點，分別以HF，EG所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知＝λ，＝λ，其中0＜λ＜1．

（Ⅰ）求證：直線ER與GR′的交點M在橢圓Γ：＋y²＝1上；

（Ⅱ）若點N是直線l：y＝x＋2上且不在坐標(biāo)軸上的任意一點，F₁、F₂分別為橢圓Γ的左、右焦點，直線NF₁和NF₂與橢圓Γ的交點分別為P、Q和S、T．是否存在點N，使得直線OP、OQ、OS、OT的斜率k_OP、k_OQ、k_OS、k_OT滿足k_OP＋k_OQ＋k_OS＋k_OT＝0？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，得F(，0)，C(，1)．

由＝λ，＝λ，得R(λ，0)，R′(，1－λ)．

又E(0，－1)，G(0，1)，則

直線ER的方程為y＝x－1，       ①

直線GR′的方程為y＝－x＋1．      ②

由①②，得M(，)．

∵＋()²＝＝＝1，

∴直線ER與GR′的交點M在橢圓Γ：＋y²＝1上．

（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的點N(x₀，y₀)存在，則

直線NF₁的方程為y＝k₁(x＋1)，其中k₁＝，

直線NF₂的方程為y＝k₂(x－1)，其中k₂＝．

由消去y并化簡，得(2k＋1)x²＋4kx＋2k－2＝0．

設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝．

∵OP，OQ的斜率存在，∴x₁≠0，x₂≠0，∴k≠1．

∴k_OP＋k_OQ＝＋＝＋＝2k₁＋k₁·

＝k₁(2－)＝－．

同理可得k_OS＋k_OT＝－．

∴k_OP＋k_OQ＋k_OS＋k_OT＝－2(＋)＝－2·

＝－．

∵k_OP＋k_OQ＋k_OS＋k_OT＝0，∴－＝0，即(k₁＋k₂)(k₁k₂－1)＝0．

由點N不在坐標(biāo)軸上，知k₁＋k₂≠0，

∴k₁k₂＝1，即·＝1．      ③

又y₀＝x₀＋2，                      ④

解③④，得x₀＝－，y₀＝．

故滿足條件的點N存在，其坐標(biāo)為（－，）．…