Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

3

(a-1)x3-

1

2

ax2+x（a∈R）[
（Ⅰ）若y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸和直線x-2y=0圍成的三角形面積等于

1

4

，求a的值；
（II）當(dāng)a＜2時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（I）由題目條件知，點(diǎn)P（1，f（1））為切點(diǎn)，且函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，求出切線方程，利用切線與y軸和直線x-2y=0圍成的三角形面積，從而建立關(guān)于a的方程，可求得a的值；
（II）由函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的解析式，解不等式f'（x）＞0與f'（x）＜0，可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（I）∵f'（x）=（a-1）x²-ax+1，∴f'（1）=（a-1）+1-a=0
又∵f（1）=

1

3

（a-1）-

1

2

a+1=-

a-4

6

，
∴y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的方程為y=-

a-4

6

，
由

y=- a-4 6 x-2y=0

，得

x=- a-4 3 y=- a-4 6

，
則切線與y軸和直線x-2y=0圍成的三角形面積等于

1

2

×

1

6

|a-4|×

1

3

|a-4|=

1

4

，
解得，a=7或a=1．
（II）f'（x）=（a-1）x²-ax+1=（x-1）[（a-1）x-1]
①當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=1-x，則f（x）在（-∞，1]上是增函數(shù)，在[1，+∞）上是減函數(shù)；
②當(dāng)1＜a＜2時(shí)，f′（x）≤0得1≤a≤

1

a-1

，則f（x）在（-∞，1]、[

1

a-1

，+∞）上是增函數(shù)，在[1，

1

a-1

]上是減函數(shù)；
③當(dāng)a＜1時(shí)，f′（x）≥0得

1

a-1

≤a≤1，則f（x）在（-∞，

1

a-1

]，[1，+∞）上是減函數(shù)，在[

1

a-1

，1]上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及學(xué)生靈活轉(zhuǎn)化題目條件的能力，屬于中檔題．