Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數(shù)，例如，函數(shù)f（x）=2x+1（x∈R）是單函數(shù)．下列命題：
①函數(shù)f（x）=x²（x∈R）是單函數(shù)；
②指數(shù)函數(shù)f（x）=2^x（x∈R）是單函數(shù)；
③若f（x）為單函數(shù)，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)；
⑤若f（x）為單函數(shù)，則函數(shù)f（x）在定義域上具有單調(diào)性．
其中的真命題是

 

．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的合情推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：利用單函數(shù)的定義當(dāng)f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，分別對五個命題進(jìn)行判斷，可以得出正確結(jié)論．

解答： 解：①對于函數(shù)f（x）=x²，由f（x₁）=f（x₂）得x₁²=x₂²，即x₁=-x₂或x₁=x₂，所以①不是單函數(shù)，①錯誤；
②對于函數(shù)f（x）=2^x，由f（x₁）=f（x₂）得2x1=2x2，∴x₁=x₂，所以②是單函數(shù)，②正確；
③對于f（x）為單函數(shù)，則f（x₁）=f（x₂）時，有x₁=x₂，逆否命題是x₁≠x₂時，有f（x₁）≠f（x₂），所以③是正確的；
④若函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，則滿足f（x₁）=f（x₂）時，有x₁=x₂，所以④是單函數(shù)，④正確；
⑤存在函數(shù)是單函數(shù)，但函數(shù)f（x）在定義域上不具有單調(diào)性，故⑤不正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評：本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，利用單函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．