Question

11．若關于x的方程$\sqrt{3}$sinx+|cosx|+a=0在區(qū)間[0，2π]內(nèi)有四個不同的解分別為x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄的值為2π．

Answer 1

分析 分類討論，化簡f（x）=$\sqrt{3}$sinx+|cosx|的解析式，由題意可得，f（x）的圖象和直線y=-a在區(qū)間[0，2π]內(nèi)有四個不同的交點，再利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得x₁+x₂+x₃+x₄的值．

解答 解：由題意可得函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinx+|cosx|=$\left\{\begin{array}{l}{2sin（x+\frac{π}{6}），x∈[0，\frac{π}{2}]}\\{2sin（x-\frac{π}{6}），x∈（\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]}\\{2sin（x+\frac{π}{6}），x∈（\frac{3π}{2}，2π]}\end{array}\right.$ 的圖象
和直線y=-a在區(qū)間[0，2π]內(nèi)有四個不同的交點，1＜-a＜2，即-2＜a＜-1．
故x₁+x₂ =2×$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，x₃+x₄ =2×$\frac{2π}{3}$=$\frac{4π}{3}$，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=$\frac{2π}{3}$+$\frac{4π}{3}$2π，
故答案為：2π．

點評 本題主要考查兩角和差的正弦公式，函數(shù)的零點和方程根的關系，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．