【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,PA= a,AD=2a.
(1)若AE⊥PD,E為垂足,求異面直線AE與CD所成角的余弦值;
(2)求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的正切值.
【答案】
(1)解:法一(幾何法):
過點E作EM∥CD交PC于M,連接AM,
則AE與ME所成角即為AE與CD所成角.
在Rt△PAD中,∠PAD=90°,
由 ,得∠PDA=30°,∴ .
∴AE=ADsin30°=a.
∵ , .
∴ .
連接AC,∵在△ACD中,AD=2a, , ,
∴AD2=AC2+CD2,∴∠ACD=90°,∴CD⊥AC,∴ME⊥AC.
又∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD,∴ME⊥PA.∴ME⊥平面PAC.
∵MA平面PAC,∵ME⊥AM.
∴在Rt△AME中, .
∴異面直線AE與CD所成角的余弦值為 .
法二(向量法):
如圖建立空間直角坐標系A﹣xyz,
則A(0,0,0),B(a,0,0), ,C(a,a,0),D(0,2a,0), ,
=(0, ), =(﹣a,a,0).
設AE與CD所成角為θ,
則cosθ= = ,
∴異面直線AE與CD所成角的余弦值為
(2)解:由題設知,CB⊥AB,CB⊥PA,則CB⊥平面PAB.
∴平面PAB的一個法向量為 =(0,a,0).
設平面PCD的一個法向量為 =(x,y,z),
∵ =(a,a,﹣ a), =(﹣a,a,0),∴由 =0, =0.
得 ,∴ ,令y=1,得 =(1,1, ).
設平面PAB與平面PCD所成的銳二面角為α,
則cosα= = .
∴tanα=2.
∴平面PAB與平面PCD所成銳二面角的正切值為2.
【解析】向量法為解空間幾何題提供了更一般的方法,使用時需建立合適的空間直角坐標系,而幾何法可以充分的利用題目中條件的特殊性,使得解題的計算量大大下降.
【考點精析】通過靈活運用異面直線及其所成的角,掌握異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點,作另一條的平行線;2、補形法:把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,其目的在于容易發(fā)現兩條異面直線間的關系即可以解答此題.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】若二次函數f(x)=ax2+bx+c(a、b∈R)滿足f(x+1)﹣f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在區(qū)間[﹣1,﹣1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求實數m的取值范圍.
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【題目】給出下面三個類比結論:
①向量 ,有| |2= 2;類比復數z,有|z|2=z2
②實數a,b有(a+b)2=a2+2ab+b2;類比向量 , ,有( )2= 2 2
③實數a,b有a2+b2=0,則a=b=0;類比復數z1 , z2 , 有z12+z22=0,則z1=z2=0
其中類比結論正確的命題個數為( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【題目】已知函數f(x)=(2x+b)ex , F(x)=bx﹣lnx,b∈R.
(1)若b<0,且存在區(qū)間M,使f(x)和F(x)在區(qū)間M上具有相同的單調性,求b的取值范圍;
(2)若F(x+1)>b對任意x∈(0,+∞)恒成立,求b的取值范圍.
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【題目】如圖所示,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,經過點F的直線l與拋物線交于P,Q兩點,弦PQ的中點為N,經過點N作y軸的垂線與C的準線交于點T.
(Ⅰ)若直線l的斜率為1,且|PQ|=4,求拋物線C的標準方程;
(Ⅱ)證明:無論p為何值,以線段TN為直徑的圓總經過點F.
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【題目】設函數f(x)在R上存在導函數f′(x),對于任意的實數x,都有f(x)=4x2﹣f(﹣x),當x∈(﹣∞,0)時,f′(x)+ <4x,若f(m+1)≤f(﹣m)+4m+2,則實數m的取值范圍是( )
A.[﹣ ,+∞)
B.[﹣ ,+∞)
C.[﹣1,+∞)
D.[﹣2,+∞)
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