Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，PA= a，AD=2a．

（1）若AE⊥PD，E為垂足，求異面直線AE與CD所成角的余弦值；
（2）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：法一（幾何法）：

過(guò)點(diǎn)E作EM∥CD交PC于M，連接AM，

則AE與ME所成角即為AE與CD所成角．

在Rt△PAD中，∠PAD=90°，

由 ，得∠PDA=30°，∴ ．

∴AE=ADsin30°=a．

∵ ， ．

∴ ．

連接AC，∵在△ACD中，AD=2a， ， ，

∴AD2=AC2+CD2，∴∠ACD=90°，∴CD⊥AC，∴ME⊥AC．

又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，∴ME⊥PA．∴ME⊥平面PAC．

∵M(jìn)A平面PAC，∵M(jìn)E⊥AM．

∴在Rt△AME中， ．

∴異面直線AE與CD所成角的余弦值為 ．

法二（向量法）：

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，

則A（0，0，0），B（a，0，0）， ，C（a，a，0），D（0，2a，0）， ，

=（0， ）， =（﹣a，a，0）．

設(shè)AE與CD所成角為θ，

則cosθ= = ，

∴異面直線AE與CD所成角的余弦值為

（2）解：由題設(shè)知，CB⊥AB，CB⊥PA，則CB⊥平面PAB．

∴平面PAB的一個(gè)法向量為 =（0，a，0）．

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為 =（x，y，z），

∵ =（a，a，﹣ a）， =（﹣a，a，0），∴由 =0， =0．

得 ，∴ ，令y=1，得 =（1，1， ）．

設(shè)平面PAB與平面PCD所成的銳二面角為α，

則cosα= = ．

∴tanα=2．

∴平面PAB與平面PCD所成銳二面角的正切值為2．

【解析】向量法為解空間幾何題提供了更一般的方法，使用時(shí)需建立合適的空間直角坐標(biāo)系，而幾何法可以充分的利用題目中條件的特殊性，使得解題的計(jì)算量大大下降.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用異面直線及其所成的角，掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系即可以解答此題．