Question

已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω≤2，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖象過點(diǎn)M（0，2），又f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)N（，0）對稱，且在區(qū)間[0，π]上是減函數(shù)，則f（x）=（ ）
A．2cos
B．2cos2
C．2cos
D．2cos

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）是R上的偶函數(shù)，求得φ=．由于函數(shù)的圖象過點(diǎn)M（0，2），求得 A=2，可得函數(shù)y=2cosωx．再由f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)N（，0）對稱，可得ω•+=kπ，k∈z ①．根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上是減函數(shù)求得ω≤1②，檢驗(yàn)各個選項(xiàng)中的函數(shù)是否同時滿足①②，從而得出結(jié)論．
解答：解：根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω≤2，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，故φ=．
由于函數(shù)的圖象過點(diǎn)M（0，2），可得Asinφ=Asin=2，∴A=2，故函數(shù)y=2cosωx．
再由f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)N（，0）對稱，可得ω•+=kπ，k∈z ①．
根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上是減函數(shù)可得它的周期≥2π，∴ω≤1，故排除B．
經(jīng)過檢驗(yàn)，ω=1和ω=，都不滿足①，故排除A，D，而ω=滿足①，
故選C．
點(diǎn)評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，復(fù)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．