Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-|x|+2a-1（a為實常數(shù)）．
（1）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞0，設(shè)f（x）在區(qū)間[1，2]的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式；
（3）設(shè)，若函數(shù)h（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a=1，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，進(jìn)而每一段轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，用二次函數(shù)法求得每段的單調(diào)區(qū)間即可．
（2）受（1）的啟發(fā)，用二次函數(shù)法求函數(shù)的最小值，要注意定義域，同時由于a不具體，要根據(jù)對稱軸分類討論．
（3）由“函數(shù)h（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)”要轉(zhuǎn)化為恒成立問題．可用單調(diào)性定義，也可用導(dǎo)數(shù)法．
解答：解：（1）a=1，f（x）=x²-|x|+1=（2分）
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（），（-，0）；
 f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-），（）（4分）
（2）由于a＞0，當(dāng)x∈[1，2]時，
①若，即，則f（x）在[1，2]為增函數(shù)g（a）=f（1）=3a-2
②若，即，
③若，即時，f（x）在[1，2]上是減函數(shù)：
g（a）=f（2）=6a-3．
綜上可得（10分）

（3）在區(qū)間[1，2]上任取x₁、x₂，
則
=（*）（12分）
∵h(yuǎn)（x）在[1，2]上是增函數(shù)
∴h（x₂）-h（x₁）＞0
∴（*）可轉(zhuǎn)化為ax₁x₂-（2a-1）＞0對任意x₁、x₂∈[1，2]
且x₁＜x₂都成立，即ax₁x₂＞2a-1
①當(dāng)a=0時，上式顯然成立
②a＞0，，由1＜x₁x₂＜4得，解得0＜a≤1
③a＜0，，得
所以實數(shù)a的取值范圍是（16分）
點評：本題主要考查分段函數(shù)，考查求其單調(diào)區(qū)間，方法是一段一段地求出即可，考查求其最值，方法是每一段求出其最值，各段中最大的為最大值，最小的為最小值，考查其單調(diào)性的應(yīng)用，這類問題要轉(zhuǎn)化為恒成立問題，實質(zhì)還是研究最值，這里就會涉及到構(gòu)造新函數(shù)的問題．