Question

已知橢圓M的中心在原點(diǎn)，離心率為

1

2

，左焦點(diǎn)是F₁（-2，0）．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)P是橢圓M上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P與橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂構(gòu)成一個(gè)直角三角形，若PF₁＞PF₂，求

PF1

PF2

的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，利用橢圓離心率為

1

2

，左焦點(diǎn)是F₁（-2，0），求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（2）分類討論，求出PF₁，PF₂，即可求

PF1

PF2

的值．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則
∵橢圓離心率為

1

2

，左焦點(diǎn)是F₁（-2，0）．
∴

c a = 1 2 c=2

，∴a=4，∴b=

a2-c2

=2

3

∴橢圓的方程為

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）當(dāng)PF₂⊥x軸時(shí)，P的橫坐標(biāo)為2，其縱坐標(biāo)為±3，∴

PF1

PF2

=

5

3

；
當(dāng)PF₁⊥PF₂ 時(shí)，設(shè)PF₂=m，則PF₁=2a-m=8-m，4＞m＞0，由勾股定理可得4c²=m²+（8-m）²，即m²-8m+24=0，方程無解
綜上，

PF1

PF2

=

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．