Question

已知等腰三角形的底角的正弦值等于

4

5

，求這個三角形的頂角的正弦、余弦和正切值．

Answer 1

考點：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用,運用誘導(dǎo)公式化簡求值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：如圖所示，由AD為BC邊上的高，利用三線合一得到BD=CD，在直角三角形ABD中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出sinB，設(shè)AD=4k，則有AB=5k，利用勾股定理表示出BD，利用銳角三角函數(shù)定義求出cos∠BAD與sin∠BAD的值，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式求出頂角的正弦、余弦和正切值即可．

解答： 解：如圖所示，AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC，
∵sinB=

AD

AB

=

4

5

，∴設(shè)AD=4k，則有AB=5k，
在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得：BD=

AB2-AD2

=3k，
∴cos∠BAD=

AD

AB

=

4

5

，sin∠BAD=

BD

AB

=

3

5

，
∴cos∠BAC=cos2∠BAD=

16

25

-

9

25

=

7

25

，sin∠BAC=2sin∠BADcos∠BAD=

24

25

，tan∠BAC=

24

7

．

點評：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．