Question

已知函數(shù)f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f（x）=1+

1

x-1

；
（1）求f（2）的值及當(dāng)x＞0時y=f（x）的解析式；
（2）用定義法判斷y=f（x）在區(qū)間（-∞，0]的單調(diào)性．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)已知條件，設(shè)x＞0，那么-x＜0，所以可求f（-x）=1+

1

-x-1

=f(x)．這樣便可求f（2），x＞0時f（x）的解析式；
（2）首先確定x∈（-∞，0]時，f（x）=1+

1

x-1

，根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)x₁＜x₂≤0，通過作差比較f（x₁），f（x₂）的大小，從而判斷出f（x）在（-∞，0]的單調(diào)性．

解答： 解：（1）設(shè)x＞0，-x＜0，則：f（-x）=1+

1

-x-1

=f(x)；
∴x＞0時，f(x)=1-

1

x+1

；
f（2）=

2

3

；
（2）x∈（-∞，0]時，f（x）=1+

1

x-1

；
設(shè)x₁＜x₂≤0，則：
f(x1)-f(x2)=

1

x1-1

-

1

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

；
∵x₁＜x₂≤0；
∴x₂-x₁＞0，x₁-1＜0，x₂-1＜0；
f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減．

點評：考查偶函數(shù)的定義，已知x＜0時的解析式，根據(jù)f（x）的奇偶性求x＞0時解析式的求法，以及函數(shù)單調(diào)性的定義，根據(jù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性．