Question

三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的三邊，能得出三角形ABC一定是銳角三角形的條件是

④

（只寫序號）
①sinA+cosA=

1

5

   ②

AB

•

BC

＜0   ③b=3，c=3

3

，B=30°   ④tanA+tanB+tanC＞0．

Answer 1

分析：①兩邊同時平方可得，sinAcosA=-

12

25

＜0，從而可判斷
②由

AB

•

BC

＜0 可得π-B＞

1

2

π，可得0＜B＜

1

2

π，但是角A，C的范圍無法確定
③由b=3，c=3

3

，B=30°，利用正弦定理可得，

b

sinB

=

c

sinC

可求sinC，進而可求C，A
④利用正切的和角公式變形形式tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）化簡整理．

解答：解：①由sinA+cosA=

1

5

，兩邊同時平方可得，sinAcosA=-

12

25

＜0
∴sinA＞0，cosA＜0
∴A＞

1

2

π，三角形ABC是鈍角三角形
②由

AB

•

BC

＜0 可得π-B＞

1

2

π
∴0＜B＜

1

2

π，但是角A，C的范圍無法確定
③由b=3，c=3

3

，B=30°，利用正弦定理可得，

b

sinB

=

c

sinC

∴sinC=

csinB

b

=

3

2

∵c＞b
∴C＞B=30°
∴

C=60° A=90° A=30°

或

C=120° B=30° A=30°

均不是銳角三角形
④∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanC（tanAtanB-1）+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴A，B，C是△ABC的內(nèi)角，故內(nèi)角都是銳角
正確的判斷有④
故答案為：④

點評：本題以三角形的形狀的判斷為載體，主要考查了同角平方關系、向量的夾角的定義、正弦定理及兩角和的正切公式的綜合應用．