Question

已知拋物線C₁的焦點(diǎn)與橢圓C₂：

x2

6

+

y2

5

=1的右焦點(diǎn)重合，拋物線C₁的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M（4，0）的直線l與拋物線C₁分別相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）寫出拋物線C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若|AB|=4

10

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由拋物線C₁的焦點(diǎn)與橢圓C₂：

x2

6

+

y2

5

=1的右焦點(diǎn)重合，知拋物線C₁的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），再由拋物線C₁的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，能求出拋物線C₁的方程．
（2）設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-4）（k≠0）．聯(lián)立

y=k(x-4) y2=4x

，得 ky²-4y-16k=0，故△=16+64k²＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=

4

k

，y₁•y₂=-16，利用弦長公式能求出直線l的方程．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）∵拋物線C₁的焦點(diǎn)與橢圓C₂：

x2

6

+

y2

5

=1的右焦點(diǎn)重合，
∴拋物線C₁的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），
∵拋物線C₁的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴拋物線C₁的方程為：y²=4x．…（6分）
（2）若直線AB的斜率不存在時，|AB|=8，不合題意，故直線AB的斜率存在．
由題意可設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-4）（k≠0）．
聯(lián)立

y=k(x-4) y2=4x

，消去x，得 ky²-4y-16k=0，

∴△=16+64k²＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y1+y2=

4

k

，y₁•y₂=-16，
∴|AB|=

1+ 1 k2

|y1-y2|
=

1+ 1 k2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+ 1 k2

•

( 4 k )2+64

由|AB|=4

10

，得k²=1，
∴k=±1，
∴直線l的方程為：x-y-4=0或x+y-4=0．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查拋物線方程和直線方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意拋物線的簡單性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基本問題的合理運(yùn)用．