Question

在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點(diǎn)E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分線上。

（1）求證：DE//平面ABC；
（2）求二面角E-BC-A的余弦；
（3）求多面體ABCDE的體積。

Answer 1

解：（1）由題意知，△ABC，△ACD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形， 取AC中點(diǎn)O，連接BO，DO，則BO⊥AC，DO⊥AC， ∵平面ACD⊥平面ABC， ∴DO⊥平面ABC，作EF平面ABC， 那么EF//DO，根據(jù)題意，點(diǎn)F落在BO上， ∴易求得， 所以四邊形DEFO是平行四邊形，DE//OF， 平面ABC，平面ABC， ∴DE∥平面ABC。 （2）作FG⊥BC，垂足為G，連接FG， ∵EF⊥平面ABC，根據(jù)三垂線定理可知，EG⊥BC， ∴∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角， ∴FG=BF·sin∠FBG=，， ∴， ∴， 即二面角E-BC-A的余弦值為。
（3）∵平面ACD⊥平面ABC，OB⊥AC，  ∴OB⊥平面ACD， 又， ∴DE⊥平面DAC， ∴三棱錐E-DAC的體積， 又三棱錐E-ABC的體積， ∴多面體DE-ABC的體積為V=V1-V2=。