Question

某環(huán)形道路上順次排列有四所中學(xué)：A₁，A₂，A₃，A₄，它們順次有彩電15臺，8臺，5臺，12臺，為使各校的彩電數(shù)相同，允許一些中學(xué)向相鄰中學(xué)調(diào)出彩電，問怎樣調(diào)配才能使調(diào)出的彩電臺數(shù)最少？并求出彩電的最小總臺數(shù).

Answer 1

答案：
解析：

解：設(shè)A1中學(xué)調(diào)給A2中學(xué)x1臺彩電（若x1為負(fù)數(shù)，則認(rèn)為是A2中學(xué)向A1中學(xué)調(diào)出|x1|臺彩電，以下同） A2中學(xué)調(diào)給A3中學(xué)x2臺彩電；A3中學(xué)調(diào)給A4中學(xué)x3臺彩電；A4中學(xué)調(diào)給A1中學(xué)x4臺彩電. 因為彩電共有15+8+5+12=40臺，平均每校10臺 ∴15－x1+x4=10,8－x2+x1=10,5－x3+x2=10,12－x4+x3=10 ∴x4=x1－5, x1=x2+2,x2=x3+5, x3=x4－2 ∴x4=x1－5,x2=x1－2， x3=x2－5=x1－2－5=x1－7 而本題要求y=|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=|x1|+|x1－2|+|x1－7|+|x1－5|的最小值.其中x1是滿足－8≤x1≤15的整數(shù). 設(shè)x1=x,考慮定義在－8≤x≤15上的函數(shù)y=|x|+|x－2|+|x－7|+|x－5|. ∵|x|+|x－7|表示數(shù)x到0與7的距離之和，當(dāng)0≤x≤7時，|x|+|x－7|取得最小值7； 同理，當(dāng)2≤x≤5時，|x－2|+|x－5|取得最小值3，故當(dāng)2≤x≤5時，y取最小值10,即當(dāng)x=2,3,4,5時，|x1|+|x1－2|+|x1－7|+|x1－5|取最小值10. 所以，調(diào)出彩電最少總臺數(shù)為10. 調(diào)配方案如下：