Question

設(shè)函數(shù)f（x） 是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R恒有f（x+1）=-f（x），已知當x∈[0，1]時，f（x）=3^x．則
①2是f（x）的周期；　　　　　　　　
②函數(shù)f（x）的最大值為1，最小值為0；
③函數(shù)f（x）在（2，3）上是增函數(shù)；    
④直線x=2是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸．
其中所有正確命題的序號是

①③④

．

Answer 1

分析：①利用抽象表達式，將x替換為x+1，即可由周期定義判斷①的正誤；
②先求函數(shù)在x∈[0，1]時的值域，再利用對稱性和周期性即可求出函數(shù)的值域；
③利用函數(shù)的周期性，函數(shù)在[0，1]和[2，3]上的單調(diào)性相同；
④由于函數(shù)為偶函數(shù)，故其對稱軸為y軸，又因為函數(shù)的周期為2，故可得函數(shù)的對稱軸方程

解答：解：①∵對任意的x∈R恒有f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），即2是f（x）的周期，①正確
②設(shè)x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，f（-x）=3^-x=(

1

3

)x，
∵函數(shù)f（x） 是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）
∴x∈[-1，0]時，f（x）=f（-x）=(

1

3

)x
∴x∈[0，1]時，1≤f（x）≤3，x∈[-1，0]時，1≤f（x）≤3，
∴在一個周期[-1，1]內(nèi)，1≤f（x）≤3，
∴在定義域R上，1≤f（x）≤3，②錯誤
③∵x∈[0，1]時，f（x）=3^x為增函數(shù)，T=2
∴數(shù)f（x）在（2，3）上也是增函數(shù)，③正確
④∵函數(shù)f（x） 是定義在R上的偶函數(shù)，即對稱軸為x=0，T=2
∴x=2k  （k∈Z）為函數(shù)的對稱軸，
∴直線x=2是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸，④正確
故答案為 ①③④

點評：本題綜合考查了函數(shù)的周期性定義及其證明，利用函數(shù)的對稱性和周期性判斷函數(shù)的最值、單調(diào)性、對稱軸的方法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法