Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax²-1的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線8x-y+2=0平行，若數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₅的值為（　�。�

• A． $\frac{4030}{4031}$
• B． $\frac{2014}{4029}$
• C． $\frac{2015}{4031}$
• D． $\frac{4030}{4031}$

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=ax²-1的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線8x-y+2=0平行，可得f′（x）|_x=1=（2ax）|_x=1=2a=8，解得a．可得f（x）=4x²-1，$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=ax²-1的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線8x-y+2=0平行，
∴f′（x）|_x=1=（2ax）|_x=1=2a=8，
解得a=4．
∴f（x）=4x²-1，
f（n）=4n²-1．
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項和為S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．
則S₂₀₁₅=$\frac{2015}{4031}$．
故選：C．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究切線、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．