Question

（06年遼寧卷）（12分）

已知正方形，分別是邊的中點(diǎn)，將沿折起，如圖所示，記二面角的大小為（）．

（1）證明平面；

（2）若為正三角形，試判斷點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是否在直線上，證明你的結(jié)論，并求角的余弦值．

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）證明：、分別是正方形的邊、的中點(diǎn).

且

四邊形是平行四邊形

平面而平面

平面

（Ⅱ）解法一：點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上，過點(diǎn)用平面垂足為連接

為正三角形

在的垂直平分線上。

又是的垂直平分線

點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上

過作，垂足為，連接則

是二面角的平面角，即

設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為，連接，

在折后圖的中，

為直角三角形，

在中，

解法二：點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上，連結(jié)，在平面內(nèi)過點(diǎn)作，垂足為

為正三角形，為的中點(diǎn)，

又

平面

平面

又，且，平面，平面，

平面，

為在平面內(nèi)的射影。

點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上

過作，垂足為，連結(jié)，則，

是二面角的平面角，即

設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為。

在折后圖的中，，

為直角三角形，，

，

在中，，

，

解法三：點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上連結(jié)，在平面內(nèi)過點(diǎn)作，垂足為

為正三角形，為的中點(diǎn)

又

平面，

平面，

平面平面

又平面平面，

平面，即為在平面內(nèi)的射影，

點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上。

過作，垂足為，連結(jié)，則

是二面角的平面角，即

設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為

在折后圖的中，.

為直角三角形，.

.

在中，,

,

,

.????????????12分