Question

已知點(diǎn)A（3，2），F(xiàn)是雙曲線(xiàn)x2-

y2

3

=1的右焦點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)上有一點(diǎn)P，使|PA|+

1

2

|PF|最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　�。�

• A、(-

  21

  3

  ，2)
• B、(

  21

  3

  ，2)
• C、(3，2

  6

  )
• D、(-3，2

  6

  )

Answer 1

分析：由題意可得離心率等于

c

a

=2，設(shè)點(diǎn)P到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于|PM|，則 |PA|+

1

2

|PF|=|PA|+|PM|，故P、M、A三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|PA|+

1

2

|PF|取得最小值，故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，把把y=2 代入雙曲線(xiàn)求得正值x即為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

解答：解：由題意可得右焦點(diǎn)F（2，0），離心率等于

c

a

=

2

1

=2，設(shè)點(diǎn)P到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于|PM|，
則由雙曲線(xiàn)的定義可得

|PF|

|PM|

=2，故  |PA|+

1

2

|PF|=|PA|+|PM|，當(dāng) |PA|+

1

2

|PF|取得最小值時(shí)，
P、M、A三點(diǎn)共線(xiàn)，故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為 2，把y=2 代入雙曲線(xiàn)x2-

y2

3

=1求得正值x=

21

3

，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (

21

3

，2)，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷P、M、A三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，
|PA|+

1

2

|PF|取得最小值，是解題的關(guān)鍵．