Question

【題目】

設(shè)平面上向量＝(cosα，sinα) (0°≤α＜360°)，＝(－，)．

(1)試證：向量與垂直；

(2)當(dāng)兩個(gè)向量與的模相等時(shí)，求角α.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)α＝30°，或α＝210°.

【解析】

本試題主要是考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及向量的數(shù)量積的性質(zhì)的運(yùn)用，以及三角函數(shù)的變形運(yùn)用，和三角方程的求解的綜合試題．

（1）根據(jù)已知要證明向量與垂直，則利用數(shù)量積為零即可．

（2）由||＝1，||＝1，且|＋|＝|－|，利用模相等，則平方后相等來(lái)解得關(guān)于角α的方程，然后解三角方程得到角的值．

解：　(1)(＋)·(－)＝(cosα－，sinα＋)·(cosα＋，sinα－)

＝(cosα－)(cosα＋)＋(sinα＋)(sinα－)

＝cos2α－＋sin2α－＝0，

∴⊥． ……4分

(2)由||＝1，||＝1，且|＋|＝|－|，平方得(＋)2＝(－)2，

整理得22－22＋4＝0①.

∵||＝1，||＝1，∴①式化簡(jiǎn)得·＝0，

·＝(cosα，sinα)·(－，)＝－cosα＋sinα＝0，即cos(60°＋α)＝0.

∵0°≤α＜360°，∴可得α＝30°，或α＝210°