Question

（2012•資陽(yáng)一模）已知函數(shù)f(x)=[2sin(x-

π

3

)+sinx]•cosx+

3

sin2x(x∈R)．
（1）求函數(shù)f(x)在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．
（2）在銳角△ABC中，f(A)=

3

，a=

7

，b=2求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）先將函數(shù)利用降冪擴(kuò)角公式，利用輔助角公式化簡(jiǎn)，再整體思考，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得函數(shù)f(x)在[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）由f(A)=

3

得sin(2A-

π

3

)=

3

2

，從而可求A，再利用余弦定理求邊，進(jìn)而利用面積公式可求△ABC的面積

解答：解：（1）f(x)=[2(sinxcos

π

3

-cosxsin

π

3

)+sinx]•cosx+

3

sin2x
=2sinxcosx-

3

(cos2x-sin2x)=sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)．（2分）
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin(2x-

π

3

)∈[-

3

2

，1]，
∴f(x)∈[-

3

，2]，
∴f（x）最大值為2，最小值為-

3

．（6分）
（2）由f(A)=

3

得sin(2A-

π

3

)=

3

2

，
∵0＜A＜

π

2

，則-

π

3

＜2A-

π

3

＜

2π

3

，
∴2A-

π

3

=

π

3

，∴A=

π

3

．（8分）
由余弦定理7=4+c2-2×2×c×

1

2

，
∴c²-2c-3=0，解得c=3或-1（舍去），
故c=3，（10分）
∴△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

3 3

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題將三角函數(shù)與解三角形綜合，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查三角恒等變換，考查余弦定理的運(yùn)用，有綜合性．