Question

19．在平面直角坐標系xoy中，已知拋物線C：y²=ax（a＞0）上一點M（x₀，4）到焦點F的距離|MF|=$\frac{5}{4}$x₀，直線l與拋物線C相交于不同的A，B兩點，如果$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）證明：直線l必過一定點，并求出該定點坐標．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線C：y²=ax（a＞0）上一點M（x₀，4）到焦點F的距離|MF|=$\frac{5}{4}$x₀，建立方程，即可求拋物線C的標準方程；
（2）設出直線的方程，同拋物線方程聯(lián)立，得到關于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關系表示出數(shù)量積，根據(jù)數(shù)量積等于-4，做出數(shù)量積表示式中的b的值，即得到定點的坐標．

解答 （1）解：∵拋物線C：y²=ax（a＞0）上一點M（x₀，4）到焦點F的距離|MF|=$\frac{5}{4}$x₀，
∴x₀+$\frac{a}{4}$=$\frac{5}{4}$x₀，16=ax₀，∴a=4，
∴拋物線C的標準方程C：y²=4x；
（2）證明：設l：x=ty+b代入拋物線y²=4x，消去x得y²-4ty-4b=0設．
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂
=t²y₁y₂+bt（y₁+y₂）+b²+y₁y₂
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0，∴b=2．
∴直線l過定點（2，0）．

點評 本題考查拋物線方程與性質，考查了直線與拋物線相交問題轉化為拋物線的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、數(shù)量積運算、直線過定點問題等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．