Question

（本小題滿分12分）

已知點是橢圓的右焦點，點、分別是軸、軸上的動點，且滿足．若點滿足．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）設(shè)過點任作一直線與點的軌跡交于、兩點，直線、與直線 分別交于點、（為坐標原點），試判斷是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）的值是定值，且定值為．

【解析】第一問中利用向量的數(shù)量積為0，也就是向量的垂直關(guān)系式得到由，得，然后設(shè)所求點的坐標的坐標為，由，有

代入，得，采用了消元的思想得到軌跡方程。

第二問中，設(shè)出直線方程，利用直線與拋物線聯(lián)立方程組得到為定值。

解：（1）橢圓右焦點的坐標為，………………1分

．

，

由，得．                 …………………………2分

設(shè)點的坐標為，由，有，

代入，得．           …………………………4分

（2）（法一）設(shè)直線的方程為，．，

則，．                ………………………………5分

由，得， 同理得．…………………………7分

，，則．  ………8分

由，得，．   ……………………9分

則．           …………………………11分

因此，的值是定值，且定值為．         ………………………12分

    （法二）①當時， ．，則，   ．

由 得點的坐標為，則．

由 得點的坐標為，則．

．  ………………………………………6分

②當不垂直軸時，設(shè)直線的方程為，．，同解法一，得．  ……………8分

由，得，．……………………10分

則．           …………………………11分

因此，的值是定值，且定值為．        …………………………12分