Question

已知向量

a

=(

3

sinωx，cosωx)，

b

=(cosωx，-cosωx)，(ω＞0)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

+

1

2

的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

4

，
（1）求ω；
（2）若x∈(0，

5

12

π)時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若cosx≥

1

2

，x∈(0，π)，且f（x）=m有且僅有一個實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

a

=(

3

sinωx，cosωx)，

b

=(cosωx，-cosωx)，(ω＞0)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

+

1

2

，我們易求出函數(shù)的解析式，由函數(shù)f(x)=

a

•

b

+

1

2

的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

4

，我們易得函數(shù)的最小正周期為

π

2

，由公式求出ω
（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)性，令2kπ-

π

2

≤4x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解出x的取值范圍與所給的區(qū)間求交既得．
（3）由cosx≥

1

2

，x∈(0，π)，解出x的取值范圍，作出符合條件的f（x）的圖象，變f（x）=m有且僅有一個實(shí)根的問題為兩個函數(shù)的圖象有一個交點(diǎn)的問題，由圖即可得到參數(shù)的取值范圍．

解答：解：由題意，f(x)=

3

sinωx•cosωx-cos2ωx+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1+cos2ωx

2

+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx

=sin(2ωx- π 6 )

．
（1）∵兩相鄰對稱軸間的距離為

π

4

∴T=

2π

2ω

=

π

2

，∴ω=2
（2）由（1）知f(x)=sin(4x-

π

6

)，令2kπ-

π

2

≤4x-

π

6

≤2kπ+ 

π

2

，k∈z，解得

kπ

2

-

π

12

≤ x≤

kπ

2

+

π

6

，k∈z又x∈(0，

5

12

π)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，

π

6

)
（3）∵cosx≥

1

2

，又因為余弦函數(shù)在（0，π）上是減函數(shù)，∴x∈(0，

π

3

]
令f(x)=

a

•

b

+

1

2

=sin(4x-

π

6

)，g（x）=m，在同一直角坐標(biāo)系中
作出兩個函數(shù)的圖象，可知：m=1或m=-

1

2

點(diǎn)評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，求解的重點(diǎn)是從圖象觀察出函數(shù)的周期、最值、及點(diǎn)的坐標(biāo)等幾何特征來，然后根據(jù)相關(guān)的公式求出解析式中的參數(shù)，本題中考查了轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)算，如第三小問中將方程有一個根的問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象有一個交點(diǎn)的問題，從而可以用圖象法解決問題，恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化可以迅速達(dá)成問題的求解．本題運(yùn)算量較大，求解時要嚴(yán)謹(jǐn)，避免馬虎導(dǎo)致運(yùn)算出錯．