【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都大于1，且a1=2，a ﹣an+1﹣a +1=0（n∈N*）．
（1）求證： ≤an＜an+1≤n+2；
（2）求證： + + +…+ ＜1．

【答案】
（1）證明：∵an＞1，

由 ，

得 ，即an+1＞an，

∵ ，

∴an+1=（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1≤n+2，

，

∴


（2）證明：由 ，

∴

，

∴ ，

即 ，

，

∴ ＜1


【解析】（1）由an＞1，結(jié)合 ，可得an+1＞an；作差放縮可得an+1﹣an＜1，利用迭代法證得an+1≤n+2；最后再由作差放縮得到 ，進(jìn)一步得到 ；（2）由 ，得 ，可得 ，然后利用裂項(xiàng)相消法證得答案．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；

（2）若對(duì)任意，都存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知有一個(gè)三邊長分別為3,4,5的三角形.求下面兩只螞蟻與三角形三頂點(diǎn)的距離均超過1的概率.(1)一只螞蟻在三角形的邊上爬行(2)一只螞蟻在三角形所在區(qū)域內(nèi)部爬行

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a，b，c，使等式N+都成立，

（1）猜測a，b，c的值；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=x2﹣a|x﹣1|+b（a＞0，b＞﹣1）
（1）若b=0，a＞2，求f（x）在區(qū)間[0，2]內(nèi)的最小值m（a）；
（2）若f（x）在區(qū)間[0，2]內(nèi)不同的零點(diǎn)恰有兩個(gè)，且落在區(qū)間[0，1），（1，2]內(nèi)各一個(gè)，求a﹣b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義函數(shù)F（a，b）= （a+b﹣|a﹣b|）（a，b∈R），設(shè)函數(shù)f（x）=﹣x2+2x+4，g（x）=x+2（x∈R）函數(shù)F（f（x），g（x））的最大值與零點(diǎn)之和為（ ）
A.4
B.6
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱臺(tái)ABO﹣A1B1O1中，側(cè)面AOO1A1與側(cè)面OBB1O1是全等的直角梯形，且OO1⊥OB，OO1⊥OA，平面AOO1A1⊥平面OBB1O1 ， OB=3，O1B1=1，OO1= ．

（1）證明：AB1⊥BO1；
（2）求直線AO1與平面AOB1所成的角的正切值；
（3）求二面角O﹣AB1﹣O1的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱臺(tái)ABO﹣A1B1O1中，側(cè)面AOO1A1與側(cè)面OBB1O1是全等的直角梯形，且OO1⊥OB，OO1⊥OA，平面AOO1A1⊥平面OBB1O1 ， OB=3，O1B1=1，OO1= ．

（1）證明：AB1⊥BO1；
（2）求直線AO1與平面AOB1所成的角的正切值；
（3）求二面角O﹣AB1﹣O1的余弦值．

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【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=e|lnx|（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．若x1≠x2且f（x1）=f（x2），則下列結(jié)論一定不成立的是（ ）
A.x2f（x1）＞1
B.x2f（x1）=1
C.x2f（x1）＜1
D.x2f（x1）＜x1f（x2）

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