Question

數(shù)列{a_n}的前m項(xiàng)為a₁，a₂，…，a_m（m∈N*），若對任意正整數(shù)n，有a_n+m=a_nq（其中q為常數(shù)，q≠0且q≠1），則稱數(shù)列{a_n}是以m為周期，以q為周期公比的似周期性等比數(shù)列．已知似周期性等比數(shù)列{b_n}的前5項(xiàng)為1，1，1，1，2，周期為5，周期公比為3，則數(shù)列{b_n}前5k+1項(xiàng)的和等于

4•3^k-3

．（k為正整數(shù)）

Answer 1

分析：根據(jù)已知條件可以理解并把握似周期性等比數(shù)列的定義，弄清周期和周期公比的含義，將所求的數(shù)列的和問題轉(zhuǎn)化為學(xué)過的等比數(shù)列求和是解決本題的關(guān)鍵，注意找準(zhǔn)他們的聯(lián)系．

解答：解：把b_n的每5項(xiàng)求和的數(shù)列設(shè)為C_n，也就是說 C₁=B₁+B₂+…+B₅，C_k=B_5k-4+B_5k-3+…+B_5k，
因此，求b_n前5k項(xiàng)之和就是求C_n前k項(xiàng)之和．
由于b_n是周期為5的似周期性等比數(shù)列，所以

Bn+5

Bn

=3，
所以

Cn+1

Cn

=3．
由等比數(shù)列求和公式，可得為c₁+c₂+c₃+…+c_k⁼3×3^k-3．
這就是數(shù)列b_n前5k項(xiàng)之和，最后就是加上b_5k+1這一項(xiàng)，由于b_5k+1=b₁×3^k=3^k．
因此，數(shù)列b_n前5k+1項(xiàng)和就是3×3^k-3+3^k₌4•3^k-3．
故答案為：4•3^k-3．

點(diǎn)評：本小題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合、等比數(shù)列求和公式、新定義型問題的解決方法，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力和意識．