Question

已知函數(shù)f（x）=sinx，任取t∈R，定義集合：A_t={y|y=f（x），點P（t，f（t）），Q（x，f（x））滿足|PQ|≤}．設M_t，m_t分別表示集合A_t中元素的最大值和最小值，記h（t）=M_t-m_t．則
（1）函數(shù)h（t）的最大值是______；
（2）函數(shù)h（t）的單調(diào)遞增區(qū)間為______．

Answer 1

解：A_t={y|y=f（x），點P（t，f（t）），Q（x，f（x））滿足|PQ|≤}表示以P點為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部函數(shù)y=sin的圖象上所有的點的縱坐標的集合，

∵f（-2）=f（0）=f（2）=0，f（1）=1，f（-1）=-1，設O（0，0），A（1，1），B（2，0），則AO=AB=，
∴M_t=，
其中x₀是最高點Q的橫坐標，
同理，m_t=；
其中x₁是最低點Q的橫坐標．
∴函數(shù)h（t）的最大值是2（t=4k或4k+2時取得），
單調(diào)增區(qū)間是（2k-1，2k）．
分析：（1）理清A_t={y|y=f（x），點P（t，f（t）），Q（x，f（x））滿足|PQ|≤}的含義為：表示以P點為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部函數(shù)y=sin的圖象上所有的點的縱坐標的集合，再利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性與最值可求得M_t，m_t，從而可求得函數(shù)h（t））=M_t-m_t的最大值；
（1）由（1）結(jié)合正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性即可求得函數(shù)h（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．
點評：本題考查函數(shù)的值域，著重考查抽象函數(shù)的理解與應用，明確A_t={y|y=f（x），點P（t，f（t）），Q（x，f（x））滿足|PQ|≤√2}的含義是難點，也是解決問題的關(guān)鍵，考查抽象思維能力與綜合運算能力，屬于難題．