【題目】已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)、的值;

(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;

(Ⅲ)曲線上存在兩點(diǎn),使得是以坐標(biāo)原點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且斜邊的中點(diǎn)在軸上,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(;()當(dāng)時(shí)[-12]上的最大值為2,

當(dāng)時(shí)[-1,2]上的最大值為;(.

【解析】試題分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義: 可列等量關(guān)系.當(dāng)時(shí), 所以,又所以因此 2)求分段函數(shù)最值,先分別討論各區(qū)間函數(shù)最值,再比較大小,確定最值.當(dāng)時(shí),由,列表分析得的最大值為,當(dāng)時(shí), ,需根據(jù)c的值確定函數(shù)最值,當(dāng)時(shí), 恒成立, ,當(dāng)時(shí), 的最大值為,比較2的大小得:當(dāng)時(shí), 上的最大值為,當(dāng)時(shí), 上的最大值為3)利用坐標(biāo)探求等量關(guān)系,確定坐標(biāo)所在位置是解題關(guān)鍵.根據(jù)條件, 的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),不妨設(shè), , .,則,有

,無解,若,則., 取值范圍是

1)當(dāng)時(shí),

所以,又

所以因此

2)當(dāng)時(shí),由,列表得:

x

-1

(-1,0)

0




1



-

0

+

0

-



2






0

所以當(dāng)時(shí), 的最大值為,

當(dāng)時(shí), ,

當(dāng)時(shí), 恒成立, ,

此時(shí)上的最大值為;

當(dāng)時(shí), 上單調(diào)遞增,且.

,則,所以當(dāng)時(shí),

上的最大值為;

當(dāng)時(shí), 上的最大值為.

綜上可知,當(dāng)時(shí), 上的最大值為

當(dāng)時(shí), 上的最大值為.

,根據(jù)條件, 的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),不妨設(shè), , .

,則,

是直角得, ,即

.此時(shí)無解;

,則.由于的中點(diǎn)在軸上,且,所以點(diǎn)不可能在軸上,即.同理有,即, .由于函數(shù)的值域是,實(shí)數(shù)的取值范圍是即為所求.

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(1)求P點(diǎn)的軌跡C的方程;

(2)四邊形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)都在曲線C上,且對角線EG,FH過原點(diǎn)O,

kEGkFH=-,求證:四邊形EFGH的面積為定值,并求出此定值.

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(Ⅱ)設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn),直線平行于,與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,且與直線交于點(diǎn),證明:存在常數(shù),使得,并求的值.

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物理成績(x)

75

m

80

85

化學(xué)成績(y)

80

n

85

95

綜合素質(zhì)
(x+y)

155

160

165

180


(1)請?jiān)O(shè)法還原乙的物理成績m和化學(xué)成績n;
(2)在全市物理化學(xué)科技創(chuàng)新比賽中,由甲、乙、丙、丁四位學(xué)生組成學(xué)校代表隊(duì)參賽.共舉行3場比賽,每場比賽均由賽事主辦方從學(xué)校代表中隨機(jī)抽兩人參賽,每場比賽所抽的選手中,只要有一名選手的綜合素質(zhì)分高于160分,就能為所在學(xué)校贏得一枚榮譽(yù)獎(jiǎng)?wù)拢粲洷荣愔汹A得榮譽(yù)獎(jiǎng)?wù)碌拿稊?shù)為ξ,試根據(jù)上表所提供數(shù)據(jù),預(yù)測該校所獲獎(jiǎng)?wù)聰?shù)ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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