Question

13．已知直線l：ax+y+b=0與圓O：x²+y²=4相交于A、B兩點，M（$\sqrt{3}$，-1），且$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{OM}$，則$\sqrt{3}$ab=-4．

Answer 1

分析 由題意，l⊥OM，且圓心O到直線l的距離為$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×|\overrightarrow{OM}|$=$\frac{2}{3}$，由此求出a，b，即可得出結論．

解答 解：由題意，l⊥OM，且圓心O到直線l的距離為$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×|\overrightarrow{OM}|$=$\frac{2}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\sqrt{3}}\\{\frac{\sqrt{{a}^{2}+1}}=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
由于b＞0，∴a=-$\sqrt{3}$，b=$\frac{4}{3}$，
∴$\sqrt{3}ab$=-4．
故答案為-4．

點評 本題考查圓的切線方程的求法，考查實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質(zhì)、點到直線的距離公式的合理運用．